12年國教課程修訂之建議:數的四則運算之概念性理解

本文主要說明各國小學階段課程綱要、教學時數、螺旋式教學、理解數的四則運算之根本概念,進而探討數的四則運算之概念性理解之範圍,供12年國教課程修訂參考。

作者/李源順(任教臺北市立大學數學系含數學教育碩士班)

概念性理解的重要性

各國的數學課程綱要均強調運算的概念性了解。我國2009年課程綱要談到所謂能熟練數學的運算或計算,係指在能夠理解數學概念或演算規則的情況下,所進行的純熟操作。此外,中國大陸2011年義務教育課程標準、新加坡2012年的課程綱要(Primary mathematics teaching and learning syllabus)、2010年美國制定《各州共同核心數學標準》(Common Core State Standards for Mathematics)都說明四則運算意義的理解。

強調運算的概念性了解,主要是因為程序性知識的規則時常變來變去,對學生而言沒有感覺,也容易背錯或錯用。例如直式算則中,整數加減乘法可能說成最右邊對齊或者個位對齊個位;到了小數加減法一定要說是個位對個位,乘法則變成最右邊對齊;分數加減法則分母相同,分子才可以相加減;分數乘法又變成分母乘分母,分子乘分子,除法又變成除數顛倒再相乘。若數學強調概念性的了解,學生整合這些程序性知識,了解程序性知識的由來,程序性知識變得有意義。

我國目前學生數學學習時數已經減少,與其他國家的數學學習時數相比也較少,同時就讀學生比率逐年增加。我國1~9年級平均數學年上課時數(77.3~108.7小時) 比日本( 11 9 . 9 小時) 、韓國(130.4小時)、香港(100.1~124小時)都少。我國現在的上課時數也比2000年以前的課程少。在這樣的情形下,四則運算的概念性理解與程序性運算(純技術演算)的合理份量應該如何分配,才能兼顧學生學習數學的感覺呢?

概念推廣下的理解

在小學,數學學習是螺旋式學習,例如先教一位數加法,再教二位、三位數加法。學生有機會一再回到相同的概念,只是數字變大、變複雜(概念推廣)而已。我們先教真分數的加減法再教假分數、帶分數的加減法;先教同分母,再教異分母加減法。因此,學童只要能在對較少位數的運算有概念性理解,他便可以推廣到較大位數的運算;先同分母或者真分數的運算有概念性理解,便可以推廣到其它分數;只是在溝通上比較複雜而已。

事實上,所有全數四則運算的概念性理解主要是利用數的主要概念——位值概念;分數四則運算的概念性理解主要是利用分數的主要概念——單位量的部分/全體或者單位分數的計數。在小學,把小數看成分母為十的冪次方的分數特例。小數四則運算的概念性理解可以使用全數的概念推廣(使用位值概念),或者分數概念

負數四則概念可以使用理想化的生活情境來理解。例如+50表示賺50元(或者有50元),-50表示賠50元(或者欠別人50元)——動態與靜態。負負得正可以使用生活當中的逆逆概念來理解;即不是不對,表示對(若將我們將事情理想化二分為對與不對);以及逆概念-50表示賠50元,-(-50)表示不是賠50元就是賺50元。負數的加減運算可以使用金錢的動態(賺了、賠掉)與靜態(有、欠)的概念來解釋。乘法可以使用概念推廣來解釋,例如水庫的水一天上升5公分,三天後上升用5×3表示(表示與現在的水相比——相對),5×(-3)表示三天前的水位和現在相比低15公分,即-15。(-5)×(-3)只是改變上升為下降。除法則為乘法的逆概念,即與現在的水位相比,三天後上升15公分,一天上升15÷3。三天前是上升15公分,即一天下降5公分,即15÷(-3)=-5。

建議

建議所有四則運算的概念性理解在一步驟問題中進行。同時全數加法最多為三位加三位;減法最多為三位減三位;乘除最多為二位乘以二位和三位乘以一位);除法為四位除以二位。分數四則運算的概念性理解,均在真分數的情形下進行教學。帶分數則使用分配律的概念理解,不再說明真分數的概念。小數四則運算的概念性理解:加法最多為二位加二位小數(整數部份一位);減法最多為二位減二位小數(整數部份一位);乘除最多為二位乘以一位小數;除法為二位除以一位。負數四則的概念性理解可以使用適度理想化的生活情境來理解,建議只在小的整數來解釋即可,之後便概念推廣到分數、小數。我們相信,假如學生發現數學一直在進行概念推廣,他只要知道較小的數的概念性解釋,較大的數或複雜的運算,他也可以有感覺。

對於學習成效較差的學生,一開始他無法理解,過了一、二年,教師仍應該利用較小位數運算,讓他們有機會概念性理解。至於現在所學較大位數的運算,只要他理解是較小位數的概念推廣便可以了,不必要求他解釋。

較大位數的運算,教師可以允許使用計算機來計算,但是為了使學生能運用計算機處理整數、分數、小數的計算時,能進行合理性的判斷。全數四則運算應讓學生理解n位加減乘除m位的最多與最少位數相關問題(習慣使用極端例思考)。例如二位數乘以二位數最多是四位數(99×99<100×100=10000),最少是三位數(10×10=100)。同時也應該適度強調數感的教學。小數四則運算應讓學生理解n位小數加減乘除m位小數時,最多位小數的相關問題(習慣使用極端例思考)。例如二位小數乘以二位小數最多是四位小數。
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延伸閱讀

1. 李源順,《數學這樣教:國小數學感教育》,台北市,五南出版社,2013年。
2. Common Core State Standards Initiative, Common Core State Standards for Mathematics, 2010.
3. Ministry of Education Singapore, Primary mathematics teaching and learning syllabus, Curriculum Planning and Development Division, Ministry of Education Singapore, 2012.

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