一個圓周率為5的世界

王亞薇/現任臺北市立華江高級中學數學科老師。

從斜率看世界
連續幾年,都在高二、高三這2個年級間任教的我,終於在今(2018)年有機會帶小高一的數學。小高一一向是最活潑、最愛回答問題的年級我對他們充滿期待。

藉著不斷拋出問題,讓他們思考然後計算,快樂的數學課來到一個新的單元。這一個單元談的是「直線的斜率」。一開始,我要他們畫出一次函數「y=x,y=2x,y=3x」的圖形,本以為他們會大聲抗議:是不是太瞧不起他們的程度了?結果班上安靜了好一會兒,沒有人作答。於是我再給出提示:「先給出座標,畫在直角坐標系上喔!」

接著,陸續有人拿答案讓我檢查,各種不同的直線(垂直的、水平的、沒有通過原點的……),一個38人的班級,第一次就寫出正確答案的同學不到10個。我真的嚇了一跳,以為是這個班級的特殊狀況,沒想到另外2個任教班裡,答對率也同樣令人大吃一驚……

孩子,你能感受到思考的美好嗎?
在教學現場,對於孩子們在計算時常犯的錯誤,像是作根號的加減時直接加減(如√2+√3=√5),或分數的加減中分母及分子直接加減(如1∕2+1∕3=2∕5),我向來不以為意,總會一次又一次提醒他們等式兩邊的矛盾,修正他們錯誤的觀念。因為我能體諒在計算機當道的世界,很少有機會做基本運算的他們,計算能力退化可說十分正常。但是,用圖形來思考代數的解析幾何概念,不是國中階段最重要又十分有趣的觀念嗎?為什麼這一屆的孩子對於這樣的概念,彷彿完全空白?

這讓我想起,十幾年前在國中教一次函數圖形時的上課情景。

我會要求學生在方格紙上,把找出來的點一個個連起來,然後他們會理直氣壯(而且毫無驚喜)地說這是一條直線。「為什麼會是一條直線?」、「為什麼不是三角形或是亂七八糟的曲線時?」、「為什麼直線上其他點也會符合這個一次方程式」,當我丟出一大堆「為什麼」時,他們才開始覺得「是啊,好神奇喔!」,而當他們為了解決一堆「為什麼」,討論出這個圖形居然能由「相似三角形成比例」這個性質推論出時,那臉上大大的驚喜,是我教數學過程中最美麗的回報。

每次在講解完這些內容後,我總會忍不住再發展一些新的內容,如定義二次函數後,請他們畫出一個簡單的二次函數圖形。當圖形展現出來並不是直線時,他們才理解這個世界並不都是由直線所構成的。總有幾個學生會忍不住又問:「那三次函數的圖形呢?」,我真喜歡這樣的問題,因為在不知不覺間,這種「數字的世界可以用圖形表示」的美好思維,已在這群年輕的孩子身上佈下了種子。

但是,幾年沒教高一,驚愕地發現這一代的孩子似乎少了這樣的感動……

每一堂課,都是尋找真相的練習
解釋完函數圖形後,讓他們繼續畫圖與觀察,大家都發現一次函數的一次項係數愈大,直線愈陡。於是我開始告訴他們,我們要來為直線的「陡」和「平」做量化的工作,並開始引入斜率的概念。

首先,我把斜率的「率」這個字圈出來,問他們是什麼意思,孩子們說:「是比例」。接著又問他們:「既然是比例,那就有分子和分母囉!你們曾學過哪些『率』?」,以便他們從舊有的經驗下手,試著發展出斜率的定義。結果,他們很快地說出「圓周率、機率啊!」,我隨即又問:「什麼是圓周率?」,只見他們七嘴八舌地答道:「就是3.14啊!」,也有人說:「是22∕7啦!」。

眼見問不出個所以然,於是又進一步地釐清問題:「對,這些都是我們估計出來的數字,但是圓周率到底是什麼?為什麼要叫圓周率?」我繼續問道,他們答說:「是老師教的啊!」。此時筆者只好用同理的方式解釋:「老師說圓周率是3.14,它就是3.14嗎?那我說圓周率是4、是5,你們也沒有意見嗎?」

台下一片靜默。我等他們思考。

終於有一個小小的聲音冒出來:「好像是跟圓周長有關。」「沒錯,非常好,繼續想喔!」在一片接力思考下,他們終於明白「圓周率是圓周長和直徑的比值」這個觀念,圓周率真的不是「老師說了算」的數字。

多元課程,卻讓彼此在選擇裡受困
下課了,我陷入沉思:圓周率這個概念,不是應該在國小階段就被發展出來嗎?在小朋友們量了不同的奶粉蓋,盤子,汽水罐,硬幣,各種不同的圓形東西後,驚訝的發現,每一個圓周長幾乎都是直徑的3倍,然後就會明白原來圓周長和直徑之間有一個倍數關係,自此「3.14」這個數字才會烙印在他們腦海中。

這幾年,一波又一波的教改,國小、國中乃至高中,各種多元課程琳瑯滿目,令人目不暇給。高一數學課上課的節數愈來愈少,而課程內容的份量依舊。「課綱的修訂」減少了好多基本學科的上課時間,許多以前的基本學科漸漸地都被視為「無趣、無用、浪費時間」。為了落實「有趣又有用」的數學課,於是我們讓學生摺紙、看電影、玩桌遊……想要從「做」中學數學。

我不太清楚,有沒有人問過這些學生,他們真的想要這些課程嗎?

老師,所以圓周率是多少?
對我而言,「教數學」是在教一種「思考方式」,是讓學生在學習數學的過程中,因為「思考」找到規律而發現公式,從而稍稍理解這世界的運行方式。然而這樣的數學教育本質,是非常需要時間的。

「數學思考」是需要「等待」的。

我總是一直等,等他們思考,等他們給我錯誤答案,再修正,再給他們問題,再讓他們思考。一直等、一直等,等到下課時他們跟我說:「老師,數學課好好玩喔!」。

但是,我發現我愈來愈做不到了,等待學生思考成為一件非常奢侈的活動。我必須在一週少少的4節數學課中,教完所有的內容,補足他們之前欠缺的基本觀念,我又非常在意他們的筆試成績。於是,我像台戰車,上課鐘聲一響,就衝到在講台上,不敢浪費絲毫時間;下課鐘響,仍滿臉歉意地說「對不起,讓我把這個說完」,我總是不停在趕課。今年回鍋教高一的我相當焦慮,就連在夢中,都會因為課上不完而嚇醒。

大家都說,教了20幾年數學的你怎麼還不能掌握進度?來得及釐清觀念就釐清,來不及就直接教公式嗎?斜率?直接丟下定義,不就好了?不需要這樣鉅細靡遺的教,不需要教這麼多內容,教重點、教公式就好了啊,為什麼要教這麼多「為什麼」呢?怪不得你要做惡夢!

直接背公式,真的好簡單啊!
可是,我怕有一天,我不小心的直接告訴他們圓周率就是5,他們就毫無異議的接受、使用了。

然後,「圓周率是5的世界」就在不斷地教改中,來到我們的世界。

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